HISTÓRICO MVAS

Movimiento armónico simple        Cuestiones

(99-R) Una partícula describa un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. a) Represente gráficamente la posición y la velocidad de la partícula en función del tiempo y explique las analogías y diferencias entre ambas representaciones. b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.

(99-R) Un bloque de masa m cuelga del extremo inferior de un resorte de masa despreciable, vertical y fijo por su extremo superior. a) Indique las fuerzas que actúan sobre la partícula explicando si son o no conservativas. b) Se tira del bloque hacia abajo y se suelta, de modo que oscila verticalmente. Analice las variaciones de energía cinética y potencial del bloque y del resorte en una oscilación completa.

(99-R) Un movimiento armónico simple viene descrito por la expresión:

x (t) = a sen (wt + d)

a) Indique el significado físico de cada una de las magnitudes que aparecen en ella. b) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique si ambas magnitudes pueden anularse simultáneamente.

(00-E) a) Explique las variaciones energéticas que se dan en un oscilador armónico durante una oscilación. ¿Se conserva la energía del oscilador? Razone la respuesta. b) Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, ¿cómo varía la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones? Razone la respuesta.

(00-E) a) Un cuerpo de masa m, unido a un resorte horizontal de masa despreciable, oscila con movimiento armónico simple. Si su energía mecánica es E, analice las variaciones de energía cinética y potencial durante una oscilación completa. b) Si el cuerpo se sustituye por otro de masa m/2, ¿qué le ocurre al período de oscilación? Razone la respuesta.

(01-R) Indique si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando las respuestas: a) Si la aceleración de una partícula es proporcional a su desplazamiento respecto de un punto y de sentido opuesto, el movimiento de la partícula es armónico simple. b) En un movimiento armónico simple la amplitud y la frecuencia aumentan si aumenta la energía.

(02-R) a) Represente gráficamente las energías cinética, potencial y mecánica de una partícula que vibra con movimiento armónico simple. b) ¿Se duplicaría la energía mecánica de la partícula si se duplicase la frecuencia del movimiento armónico simple? Razone la respuesta.

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(05-E)  Una partícula describe un movimiento armónico simple de amplitud A y frecuencia f. a) Represente en un gráfico la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y comente sus características. b) Explique cómo varían la amplitud y la frecuencia del movimiento y la energía mecánica de la partícula al duplicar el periodo de oscilación.

(06-E) a)  Demuestre que en un oscilador armónico simple la aceleración es proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario.

b) Una partícula realiza un movimiento armónico simple sobre el eje OX y en el instante inicial pasa por la posición de equilibrio. Escriba la ecuación del movimiento y razone cuándo es máxima la aceleración.

(07-R) Un movimiento armónico simple viene descrito por la ecuación

x (t) = A sen (ωt + δ).

a) Escriba la velocidad y la aceleración de la partícula en función del tiempo y explique cómo varían a lo largo de una oscilación.

b) Deduzca las expresiones de las energías cinética y potencial en función de la posición y explique sus cambios a lo largo de la oscilación.

(08-E) a) Describa el movimiento armónico simple y comente sus características cinemáticas y dinámicas.

b) Una masa oscila verticalmente suspendida de un muelle. Describa los tipos de energía que intervienen y sus respectivas transformaciones.

(09-E) a) Escriba la ecuación de un movimiento armónico simple y explique el significado físico de cada una de las variables que aparecen en ella.

b) ¿Cómo cambiarían las variables  de dicha ecuación si se duplicaran el periodo de movimiento y la energía mecánica de la partícula.

(10-R) a) Explique qué es un movimiento armónico simple y cuáles son sus características dinámicas.

b) Razone cómo cambiarían la amplitud y la frecuencia de un movimiento armónico simple si: i) aumentara la energía mecánica, ii) disminuyera la masa oscilante.
Movimiento armónico simple          Problemas

(97-E) Al suspender un cuerpo de 0,5 kg del extremo libre de un muelle que cuelga verticalmente, se observa un alargamiento de 5 cm. Si a continuación, se tira hacia abajo del cuerpo, hasta alargar el muelle 2 cm más, y se suelta, comienza a oscilar.

a)    Haga un análisis energético del problema y escriba la ecuación del movimiento de la masa.

b)    Si, en lugar de estirar el muelle 2 cm, se estira 3 cm, ¿cómo se modificaría  la ecuación del movimiento del cuerpo?

(97-R) Un muelle de constante elástica 250 Nm^-1, horizontal y con un extremo fijo, está comprimido 10 cm. Un cuerpo de 0,5 kg situado en su extremo libre, sale despedido al librarse el muelle.

a)    Explique las variaciones de energía  del muelle y del cuerpo, mientras se estira el muelle.

b)    Calcule la velocidad del cuerpo en el instante de abandonar el muelle.

(97-R) Sobre una superficie horizontal se dispone un cuerpo de 0,5 kg, unido a uno de los extremos de un muelle que está fijo por el otro. Cuando se tira del cuerpo hasta alargar el muelle 10 cm y se suelta, comienza a oscilar con un período de 2 s.

a)    Haga un análisis energético del problema y calcule los valores de las energías cinética y potencial en los puntos extremos de la oscilación y en el punto de equilibrio.

b)    Represente la posición del cuerpo en función del tiempo. ¿Cómo cambiaría dicha representación si la masa del cuerpo fuera de 2 kg?

(98-E) Una partícula de 0,5 kg, que describe un movimiento armónico simple de frecuencia   Hz, tiene inicialmente una energía cinética de 0,2 J y una energía potencial de 0,8 J.

a)    Calcule la posición y la velocidad iniciales, así como la amplitud de la oscilación y la velocidad máxima.

b)    Haga un análisis de las transformaciones de energía que tienen lugar en un ciclo completo. ¿Cuál sería el desplazamiento en el instante en que las energías cinética y potencial son iguales?

(98-E) Un cuerpo de 10 kg se lanza con una velocidad de 30 m s^-1 por una superficie horizontal lisa hacia el extremo libre de un resorte horizontal, de constante elástica 200 N/m, fijo por el otro extremo.

a)    Analice las variaciones de energía que tienen lugar a partir de  un instante anterior al impacto con el resorte y calcule la máxima compresión del resorte.

b)    Discuta en términos energéticos las modificaciones relativas al apartado a) si la superficie horizontal tuviera rozamiento.

(99-R) Un bloque de 8kg desliza por una superficie horizontal sin rozamiento con una velocidad de 10 m s^-1 e incide sobre el extremo libre de un resorte, de masa despreciable y constante elástica k = 400 N m^-1, colocado horizontalmente.

a)    Analice las transformaciones de energía que tienen lugar desde un instante anterior al contacto del bloque con el resorte hasta que éste, tras comprimirse, recupera la longitud inicial, ¿cómo se modificaría el balance energético anterior si existiera rozamiento entre el bloque y la superficie?

b)    Calcule la comprensión máxima del resorte y la velocidad del bloque en el instante de separarse del resorte, en el supuesto inicial de que no haya rozamiento.

(99-E) Un cuerpo de 0,5 kg se encuentra inicialmente en reposo a un altura de 1 m por encima del extremo libre de un resorte vertical, cuyo extremo inferior está fijo. Se deja caer el cuerpo sobre el resorte y, después de comprimirlo, vuelve a subir. El resorte tiene una masa despreciable y una constante elástica k = 200 N m^-1.

a)    Haga un análisis energético del problema y justifique si el cuerpo llegará de nuevo al punto de partida.

b)    Calcule la máxima compresión que experimenta el resorte

g = 10 m s^-2

(99-R) Una partícula de 2 g oscila con movimiento armónico simple de 4 cm de amplitud y 8 Hz de frecuencia y en el instante t = 0 se encuentra en la posición de equilibrio.

a)    Escriba la ecuación del movimiento y explique las variaciones de energías cinética y potencial de la partícula durante un periodo.

b)    Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando la elongación es de 1 cm.

(99-R) Una partícula describe un movimiento armónico simple, entre dos puntos A y B que distan 20 cm, con un periodo de 2 s.

a)    Escriba la ecuación de dicho movimiento armónico simple, sabiendo que para t = 0 la partícula se encuentra en el punto medio del segmento AB.

b)    Explique cómo varían las energías cinética y potencial durante una oscilación completa.

(00-R) Un bloque de 5 kg desliza sobre una superficie horizontal. Cuando su velocidad es de 5 m s^-1 choca contra un resorte de masa despreciable y de constante elástica k = 2500 N/m. El coeficiente de rozamiento bloque  superficie es 0,2.

a)    Haga un análisis energético del problema.

b)    Calcule la longitud que se comprime el resorte y la distancia que recorrerá el bloque cuando se mueve despedido por el resorte, medida desde la posición de equilibrio de éste.

g = 10 m s^-2

(00-R) Un resorte vertical se alarga 2 cm cuando se cuelga de su extremo inferior un cuerpo de 10 kg. Se desplaza dicho cuerpo hacia  abajo y se suelta, de forma que el sistema comienza a oscilar con  una amplitud  de 3 cm.

a)    Calcule la constante recuperadora del resorte y el período del movimiento.

b)    Haga un análisis de las transformaciones energéticas que tienen lugar en una oscilación completa  y calcule el valor de las energías cinética  y potencial elástica cuando el desplazamiento es de 1,3 cm.

g = 10 m s^-2

(01-E) Un objeto de 0,2 kg, unido al extremo de un resorte, efectúa oscilaciones armónicas de 0,1 p s de periodo y su energía cinética máxima es de 0,5 J.

a)    Escriba la ecuación de movimiento del objeto y determinar la constante elástica del resorte.

b)    Explique cómo cambiarían las características del movimiento si: i) se sustituye el resorte por otro de constante elástica doble; ii) se sustituye el objeto por otro de masa doble.

(01-R) Un cuerpo de 2 kg cae sobre un resorte elástico de constante k = 4000 N m ^{- 1}, vertical y sujeto al suelo. La altura a la que se suelta el cuerpo, medida sobre el extremo superior del resorte, es de 2 m.

a)    Explique los cambios energéticos durante la caída y la compresión del resorte.

b)    Determine la deformación máxima del resorte.

g = 10 m s ^{– 2}

(02-E) a) ¿Qué características debe tener una fuerza para que al actuar sobre un cuerpo le produzca un movimiento armónico simple?

b)    Represente gráficamente el movimiento armónico simple de una partícula dado por    y = 5 cos (10 t + p/2) (S I) y otro movimiento armónico que tenga una amplitud doble y una frecuencia mitad que el anterior.

(03-R) Sobre un plano horizontal sin rozamiento se encuentra un bloque de masa m = 1,5 Kg, sujeto al extremo libre de un resorte horizontal fijo por el otro extremo. Se aplica al bloque una fuerza de 15 N, produciéndose un alargamiento del resorte de 10 cm y en esta posición se suelta el cuerpo, que inicia un movimiento armónico simple.

a)    Escriba la ecuación de movimiento del bloque.

b)    Calcule las energías cinética y potencial cuando la elongación es de 5 cm.

(03-R) Un bloque de 0,5 kg está colocado sobre el extremo superior de un resorte vertical que está comprimido 10 cm y, al liberar el resorte, el bloque sale despedido hacia arriba verticalmente. La constante elástica del resorte es 200 N m^-1.

a)    Explique los cambios energéticos que tienen lugar desde que se libera el resorte hasta que el cuerpo cae y calcule la máxima altura que alcanza el bloque.

b)    ¿Con qué velocidad llegará el bloque al extremo del resorte en su caída?

g = 10 m s^-2

(04-E) Una partícula de 50 g vibra a lo largo del eje X, alejándose como máximo 10 cm a un lado y a otro de la posición de equilibrio (x = 0). El estudio de su movimiento ha revelado que existe una relación sencilla entre la aceleración y la posición que ocupa en cada instante: a = -16 p²x.

a)    Escriba las expresiones de la posición y de la velocidad de la partícula en función del tiempo, sabiendo que este último se comenzó a medir cuando la partícula pasaba por la posición x = 10 cm.

b)    Calcule las energías cinética y potencial de la partícula cuando se encuentra a 5 cm de la posición de equilibrio.

(05-R)  Una partícula de 0,2 kg describe un movimiento armónico simple a lo largo del eje x, de frecuencia 20 Hz. En el instante inicial la partícula pasa por el origen, moviéndose hacia la derecha, y su velocidad es máxima. En otro instante de la oscilación la energía cinética es 0,2 J y la energía potencial es 0,6 J.

a) Escriba la ecuación de movimiento de la partícula y calcule su aceleración máxima.

b) Explique, con ayuda de una gráfica, los cambios de energía cinética y de energía potencial durante una oscilación.

(06-E) Un bloque de 0,5 kg cuelga del extremo inferior de un resorte de constante elástica  k = 72 N m^-1. Al desplazar el bloque verticalmente hacia abajo de su posición de equilibrio comienza a oscilar, pasando por el punto de equilibrio con una velocidad de 6 m s ^-1.

a) Razone los cambios energéticos que se producen en el proceso.

b) Determine la  amplitud y la frecuencia de oscilación.

(07-R) Un bloque de 2 kg se encuentra sobre un plano horizontal, sujeto al extremo de un resorte de constante elástica k = 150 N m-1, comprimido 20 cm. Se libera el resorte de forma que el cuerpo desliza sobre el plano, adosado al extremo del resorte hasta que éste alcanza la longitud de equilibrio, y luego continúa moviéndose por el plano. El coeficiente de rozamiento es de 0,2.

a) Explique las transformaciones energéticas que tienen lugar a lo largo del movimiento del bloque y calcule su velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio del resorte. b) Determine la distancia recorrida por el bloque hasta detenerse. (g = 10 m s^-2)

(07-E)  Un cuerpo realiza un movimiento vibratorio armónico simple.

a) Escriba la ecuación de movimiento si la aceleración máxima es 5π² cm s^-2, el periodo de las oscilaciones 2 s y la elongación del cuerpo al iniciarse el movimiento 2,5 cm.

b) Represente gráficamente la elongación y la velocidad en función del tiempo y comente la gráfica.

(09-R) Un cuerpo de 2 kg se encuentra sobre una mesa plana y horizontal sujeto a un muelle, de constante elástica k =15 N·m^-1. Se desplaza el cuerpo 2 cm de la posición de equilibrio y se libera.

a) Explique cómo varían las energías cinética y potencial del cuerpo e indique a qué distancia de su posición de equilibrio ambas energías tienen igual valor.

b) Calcule la máxima velocidad que alcanza el cuerpo.

(09-R) Un bloque de 1 kg, apoyado sobre una mesa horizontal y unido a un resorte, realiza un movimiento armónico simple de 0,1 m de amplitud. En el instante inicial su energía cinética es máxima y su valor es 0,5 J.

a) Calcule la constante elástica del resorte y el periodo del movimiento.

b) Escriba la ecuación del movimiento del bloque, razonando cómo obtiene el valor de cada una de las variables que intervienen en ella.

(10-E) Un cuerpo, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, efectúa un movimiento armónico simple y los valores máximos de su velocidad y aceleración son 0,6 m s^-1 y 7,2 m s^-2 respectivamente.

a) Determine el período y la amplitud del movimiento.

b) Razone cómo variaría la energía mecánica del cuerpo si se duplicara: i) la frecuencia; ii) la aceleración máxima.

(10-R) Un bloque de 0,12 kg, situado sobre una superficie horizontal lisa y unido al extremo de un resorte, oscila con una amplitud de 0,20 m.

a) Si la energía mecánica del bloque es de 6 J, determine razonadamente la constante elástica del resorte y el periodo de las oscilaciones.

b) Calcule los valores de la energía cinética y de la energía potencial cuando el bloque se encuentra a 0,10 m de la posición de equilibrio.

EJERCICIOS PROPUESTOS

OS PROPONGO ESTOS EJERCICIOS PARA PRACTICAR DE CARA AL EXAMEN QUE REALIZAREMOS LA PRÓXIMA SEMANA. ESCOGED UN PAR DE ELLOS CADA UNO Y PREPARARLOS PARA ENTREGAR EL PRÓXIMO DÍA DE CLASE. SE PUNTUARÁ SIEMPRE QUE ESTÉN BIEN RESUELTOS, ORDENADOS Y CORRECTAMENTE EXPLICADOS.

1.     (Andalucía, 2009). Un electrón con una velocidad de 10⁵j m/s penetra en una región del espacio en la que existen un campo eléctrico E=10⁴i N/C y uno magnético B=-0.1 k T.

a.    Analice con ayuda de un esquema el movimiento que realiza el electrón

b.    En un momento dado se suprime el campo eléctrico. Razone como varía el movimiento del electrón y calcule las características de su trayectoria.

2.    (Andalucía, Junio 99). Dos hilos metálicos largos y paralelos, por los que circulan corrientes de 10 A, pasan por dos vértices opuestos de un cuadrado de 1 m de lado situado en un plano horizontal. Ambas corrientes discurren perpendicularmente a dicho plano y hacia arriba.

a) Dibuja un esquema en el que figuren las interacciones mutuas y el campo magnético resultante en uno de los otros dos vértices del cuadrado.

b) Calcula los valores numéricos del campo magnético en dicho vértice y de la fuerza por unidad de longitud ejercida sobre uno de los hilos.

Dato: µ₀ = 4 · π · 10^-7 N · A^-2

3.    (Andalucía, Junio 2005). Dos partículas con cargas eléctricas, del mismo valor absoluto y diferente signo, se mueven con la misma velocidad, dirigida hacia la derecha y en el plano del folio. Ambas partículas penetran en un campo magnético de dirección perpendicular al folio y dirigido hacia abajo.

Analice con ayuda de un gráfico las trayectorias seguidas por las dos partículas. Si la masa de una de ellas es doble que la de la otra (m1   =  2 m2) ¿Cuál gira más rápidamente?

4.    (Zaragoza, Sep. 2000) Por un largo conductor rectilíneo circula una corriente I = 2 A.

a) ¿Qué campo magnético crea esta corriente a una distancia r = 10 cm del conductor? Explica cuál es la dirección y el sentido de este campo.

b) En paralelo al anterior y a la distancia indicada se sitúa un segundo conductor, por el que circula una corriente I' = 1 A en el mismo sentido. ¿Qué fuerza por unidad de longitud actúa sobre cada conductor? ¿Es atractiva o repulsiva?

Dato: µ₀ = 4 · π · 10^-7 N · A^-2

5.    (Andalucía, Sep. 2005) Sobre un electrón, que se mueve con velocidad v, actúa un campo magnético B en dirección normal a su velocidad.

a) Razone por qué la trayectoria que sigue es circular y haga un esquema que muestre el sentido de giro del electrón.

b) Deduzca las expresiones del radio de la órbita y del período del movimiento.

LEY DE AMPÈRE

Aquí teneis un pequeño video que explica cómo es el campo creado por una corriente eléctrica. Podeis visualizarlo, repasar lo visto el último día y hacer las actividades correspondientes del libro.

RESOLUCIÓN EXAMEN CAMPO ELÉCTRICO

EXAMEN DE CAMPO ELÉCTRICO;  7 DE FEBRERO DE 2011

CUESTIÓN 1.

a) Explique las características de la interacción eléctrica entre dos cargas puntuales en reposo.

b) ¿Es nulo el campo eléctrico en algún punto del segmento que une dos cargas puntuales de igual valor absoluto pero de signo contrario? Razone la respuesta

a)    La fuerza con que interaccionan dos cargas puntuales viene dada por la ley de Coulomb:

Las principales características de esta interacción podemos resumirlas en:

-      La fuerza es proporcional a la constante K (constante de Coulomb), que a diferencia de G (constante de Cavendish) no es universal sino que depende del medio en el que estén inmersas las cargas, siendo: k=1/4πε con ε la constante dieléctrica del citado medio.

-      La interacción es directamente proporcional al producto de las cargas que interaccionan.

-      Está dirigida en la línea que une ambas cargas (  ), lo que le confiere carácter de interacción central.

-      Puede ser atractiva o repulsiva dependiendo del signo de las cargas siendo repulsiva si estas son del mismo signo y atractiva si son de signo contrario.

-      Por último decrece con el cuadrado de la distancia.

b)   No, el campo en un punto del segmento que une ambas cargas no se anula nunca, ya que en cualquier punto situado en el segmento que une ambas cargas los campos serán de igual dirección y sentido por el hecho de ser estas de signo contrario, con lo cual los campos siempre se suman.

CUESTIÓN 2.

a) Razone si la energía potencial electrostática de una carga q aumenta o disminuye, al pasar del punto A al punto B, siendo el potencial en A mayor que en B.

b) El punto A está más alejado que el B de la carga Q que crea el campo. Razone si la carga Q es positiva o negativa.

a) La energía potencial electrostática se obtiene a partir del producto de la carga por el potencial.

E_PA= qV_A;   E_PB= qV_B

Como V_A > V_B se pueden dar dos situaciones diferentes en función del signo de la carga q:

Si q > 0 ⇒ q·V_A > q·V_B

Si q < 0 ⇒ q·V_A < q·V_B

En el caso de que la carga sea negativa la energía potencial de dicha carga aumenta al trasladarse de A a B y en el caso de que q sea positiva, la energía disminuye.

b) La expresión del potencial creado por una carga puntual Q es: V=KQ/r

Como r_A > r_B ( porque me dicen que el punto A está más lejos de Q) la única posibilidad de que el potencial en A sea mayor que en B es que el valor de la carga sea negativo (observar que el potencial siempre tiene el signo de la carga).

PROBLEMA 1. Se disponen de dos cargas eléctricas sobre el eje X, una de valor Q₁ en la posición (1,0) y otra de valor Q₂ en (-1,0). Sabiendo que todas las coordenadas están expresadas en metros, determine:

a)    Los valores de las cargas para que el campo eléctrico en el punto (0,1) venga expresado por el vector:  

b)   La relación entre las cargas para que el potencial en el punto (2,0) sea cero

a)    Dibujamos el sistema que nos plantea el enunciado y obtenemos:

Por simetría, para que el campo resultante tenga componente únicamente en la dirección positiva del eje Y, las dos cargas han de ser de igual módulo y signo.

El vector intensidad de campo eléctrico cumple el principio de superposición y por componentes nos quedará:
Ex= E1x+E2x= 0
Ey= E1y+E2y= (E1+E2)sen45

Sumando las componentes e igualando al valor del campo total obtenemos:

                                         q=3.1 x 10^-5C

PROBLEMA 2.  Dos partículas de 10 g se encuentran suspendidas por dos hilos de 30 cm desde un mismo punto. Si se les suministra a ambas partículas la misma carga, se separan de modo que los hilos forman entre sí un ángulo de 60º.

a) Dibuja en un diagrama las fuerzas que actúan sobre las partículas y analiza la energía del sistema en esa situación.

b) Calcula el valor de la carga que se suministra a cada partícula.

Datos: K = 9 · 109 N m²/C²; g = 10 m/s².

a)  Sobre cada partícula actúan la tensión de la cuerda, la fuerza de repulsión electrostática y la fuerza gravitatoria, de tal manera que la tensión compensa a las otras dos.

En el análisis energético cabe señalar que en este caso hay tanto energía potencial gravitatoria como consecuencia de tratarse de dos partículas con masa, como energía potencial electrostática por tratarse de dos partículas con carga.

Por ser la interacción gravitatoria de tipo atractivo siempre, la energía potencial gravitatoria del sistema es negativa. La energía potencial electrostática, por el contrario, va a ser en este caso positiva ya que la interacción eléctrica entre las partículas es en este caso repulsiva como puede deducirse fácilmente del hecho de que al cargarlas estas se separen un ángulo de 60º.

b) De la figura se puede deducir que:

T cos 60º = F_e = qE= =kq²/r²

T sen 60º = F_g

Por tanto: F_e tan 60º = F_g, donde: F_e = qE= =kq²/r²  y F_g=mg

Finalmente, despejando obtenemos:

q = 7,6 ·10 C