A) Dos partículas de idéntica carga describen órbitas circulares en el seno de un campo magnético uniforme bajo la acción del mismo. Ambas partículas poseen la misma energía cínética y la masa e una es el doble que la de la otra. Calcule la relación entre:
a) Los radios de las órbitas descritas
b) Los periodos de las órbitas.
a) Para una partícula cargada que entra en una región donde existe un campo magnético y de la que se sabe que describe una órbita circular se cumple que:
Fm = Fc,
donde Fc es la fuerza centrípeta y Fm es la magnética que sabemos que vale: Fm=qvB.
Igualando ambas fuerzas obtenemos:
qB= mv/r
Como ambas partículas poseen la misma carga y velocidad y están sometidas al mismo campo magnético, la única diferencia entre ambas la encontraremos en la masa y tendremos:
Si igualamos ambas expresiones, las elevamos al cuadrado y tenemos en cuenta que ambas partículas tienen la misma energía cinética obtenemos:
b)
a) Describe la trayectoria seguida por la partícula y explica cómo cambia su energía.
b) Repite el apartado anterior si en vez de un campo eléctrico se trata de un campo magnético.
a) Cuando una partícula cargada entra en una región en la que existe un campo eléctrico, siente sobre ella una fuerza que viene dada por la ecuación fundamental de la electrostática: F = qE, provoca sobre la misma una aceleración a=qE/m en la dirección y sentido del campo si la partícula está cargada positivamente y en sentido contrario si su carga es negativa.
Si la partícula cargada entra en dirección perpendicular al campo, la aceleración se produce en dirección perpendicular a la velocidad, lo que da lugar a un movimiento de tipo parabólico parecido al que se da en un lanzamiento horizontal, si bien el sentido del movimiento dependerá del signo de la carga como ya hemos dicho antes.
b) Si en lugar de un campo eléctrico, existe un campo magnético en la región donde incide la partícula, aparecerá sobre esta una fuerza magnética de módulo F=qvB dado que la incidencia en el campo es perpendicular (Fm=qvxB). La fuerza magnética será además, por definición, perpendicular al plano formado por v y B, lo que confiere a las particular un movimiento circular cuyo sentido vuelve a depender del signo de la carga que incide en la región.
C) POR DOS CONDUCTORES RECTILÍNEOS Y DE GRAN LONGITUD DISPUESTOS PARALELAMENTE, CIRCULAN CORRIENTES ELÉCTRICAS DE LA MISMA INTENSIDAD Y SENTIDO. DIBUJE UN ESQUEMA INDICANDO LA DIRECCIÓN Y SENTIDO DEL CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A CADA CORRIENTE Y DEL CAMPO TOTAL EN EL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO QUE UNE A LOS DOS CONDUCTORES Y COMÉNTELO.
El sentido del campo magnético creado por cada uno de los conductores lo obtenemos aplicando la regla de la mano derecha y obtenemos el resultado mostrado en la figura:
Donde:
- B1 es el campo creado por el conductor de la izquierda, por el que circula la corriente I1 y que, como podemos observar es perpendicular al plano y sentido entrante.
- B2 es el campo creado por el conductor de la derecha, por el que circula la corriente I2 y que es perpendicular al plano y de sentido saliente.
Para calcular su módulo aplicamos la Ley de Biot-Savart, que para el caso de un conductor rectilíneo y a una distancia r de este vale:
Como el punto considerado es equidistante a ambos conductores y por ambos circula la misma intensidad de corriente B1 y B2 tendrán la misma dirección e intensidad pero sentido contrario, con lo que el campo resultante en P será cero.
D) a) ¿Cuál es la condición para que una partícula cargada, que se mueve en línea recta, siga en su trayectoria rectilínea cuando se somete simultáneamente a un campo eléctrico y a otro magnético, perpendiculares entre sí y perpendiculares a la velocidad de carga?
b) Dibuje las trayectorias de la partícula cargada del apartado a) si sólo existiera el campo eléctrico o campo magnético, y explique en cada caso, si varía la velocidad. (ANDALUCÍA, SEPTIEMBRE 98)
a) Cuando una partícula cargada entra en una región en la que existen un campo eléctrico y uno magnético siente dos fuerzas:
- Una debida al campo eléctrico existente que puede expresarse como: F= qE. Si la partícula está cargada positivamente esta fuerza tendrá la misma dirección y sentido que el campo eléctrico. Si la carga de la partícula es negativa, la fuerza tendrá la dirección del campo eléctrico pero sentido contrario. Como en el enunciado no se especifica nada, supondremos que la partícula tiene carga positiva.
- Otra fuerza debida al campo magnético existente dada por la expresión: F=qvxB. Por la propia definición del producto vectorial esta fuerza será perpendicular al plano formado por v y B que, en el caso concreto que estamos considerando E, v y B mutuamente perpendiculares, tendrá la misma dirección de la fuerza eléctrica.Para que la partícula no desvíe su trayectoria, las fuerzas eléctrica y magnética tienen que compensarse, es decir, anularse entre sí. Por tanto el módulo de la fuerza eléctrica tiene que ser igual que el de la fuerza magnética y, puesto que la velocidad es perpendicular a ambos campos, tendremos:
qvBsen90 = qE
E=vB
Pero para que esto sea posible debe verificarse además que ambas fuerzas estén aplicadas sobre la partícula no sólo en la misma dirección, sino que además deben estar aplicadas en sentido contrario. Para ello, el sentido del vector campo eléctrico debe ser el contrario al producto vectorial de la velocidad por el campo magnético y nos quedará una configuración como la mostrada en la figura:
b. Si sólo existiese campo eléctrico, sólo aparecería sobre la partícula la fuerza debida a este y que tiende a desviarla en la dirección y el sentido del campo, ya que nosotros hemos supuesto que la partícula tiene carga positiva. Puesto que la fuerza que se realiza es constante, la partícula seguirá una trayectoria de tipo parabólico similar a cuando estudiamos el caso de un tiro horizontal en un campo gravitatorio (la componente de la velocidad en la dirección de entrada a la región se mantiene y se acelera en la dirección del campo).
Si en lugar de desaparecer el campo magnético, es el campo eléctrico el que desaparece, aparece sobre la partícula la fuerza magnética, que es, por definición, perpendicular al vector velocidad de la partícula y, por tanto, a su trayectoria, en todo momento. El efecto sobre esta será provocarle un movimiento circular que, en ausencia de otros agentes externos, será uniforme.
PEQUEÑAS CUESTIONES
1. ¿Qué diferencia fundamental existe entre las líneas de fuerza de un campo magnético y las de uno eléctrico? ¿A qué se debe dicha diferencia?
R. Las líneas de fuerza de un campo magnético se diferencian de las de un campo eléctrico en que las de campo magnético son siempre cerradas, mientras que las de campo eléctrico son abiertas. Esto se debe a que el campo eléctrico es generado por cargas individuales, mientras que el magnético es generado en los polos de los imanes que siempre se presentan por pares. Las líneas de campo magnético salen del polo norte del imán y entran por el polo sur.
2. Un haz de protones y otro de electrones son lanzados en la misma dirección y sentido. En ambos casos se observa que las partículas se desplazan con MRU. ¿Podemos asegurar que en dicha región no existe campo magnético? ¿Y campo eléctrico?
R. No podemos asegurar la inexistencia de un campo magnético, pues podría suceder que las partículas incidiesen en la dirección del campo, en cuyo caso la fuerza magnética neta sobre la partícula sería cero y el movimiento sería entonces rectilíneo y uniforme.
Sí podemos asegurar, sin embargo, que no existe campo eléctrico alguno, pues afectaría al movimiento de las partículas cargadas independientemente de la orientación en que entrasen en el seno del mismo.
3. En cierta región del espacio existen un campo magnético y otro eléctrico que tienen la misma dirección y sentido. Razona lo que ocurre cuando incide en la dirección y sentido de los campos un haz de protones y uno de electrones.
R. Como las partículas inciden en la dirección de los campos, la velocidad de estas es paralela a los mismos, con lo cual no se ejerce fuerza magnética neta alguna sobre las partículas.
Si ejerce acción sobre ellas el campo eléctrico que provocará una aceleración en la dirección y sentido del campo en el caso de los protones y en sentido contrario en el caso de los electrones.
4. Una espira se sitúa de modo que su momento magnético tiene la misma dirección que un campo magnético externo B y sentido opuesto al mismo. ¿Cuál es el momento del par que actúa sobre ella? ¿Se encontrará en equilibrio estable o inestable? Razona tu respuesta.
R. El momento del par vendrá dado por: M= mBsen180º=0. Sin embargo el equilibrio de la espira será inestable, ya que cualquier pequeña perturbación producirá el giro de las espira y hará que su momento magnético se oriente a favor del campo. Cuando el momento magnético y el vector inducción magnética tengan la misma dirección y sentido, el equilibrio será estable.
